Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

4.   Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola  , el eje de abscisas y la recta  . (Nota: para el dibujo de la gráfica de la parábola, indica los puntos de corte con los ejes, el vértice y la concavidad o convexidad).

 

Hacemos los cálculos para dibujar la parábola:

 

Corte eje OX:  y = 0

 

 

Corte eje OY:  x = 0

 

   ⇒   Punto de corte : 

 

 

Vértice:

 

 

Curvatura: 

La parábola es convexa ya que  .

 

Vamos a calcular el punto de corte entre la parábola y la recta:

 

 

Con estos datos podemos dibujar tanto la parábola como la recta e identificar el área a calcular:

 

 

 

El área la vamos a dividir en dos partes, como se aprecia en el dibujo. La primera de ellas es un triángulo, por lo que podemos calcular el área directamente:

 

 

Para calcular la otra área utilizamos una integral:

 

 

 

El área total será la suma de estas dos áreas: