Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2016

4.   La derivada de una función , cuyo dominio es , es  

a)  Determina la función  sabiendo que su gráfica pasa por el punto .

b)  Determina los intervalos de concavidad y convexidad de .

 

a)  Para determinar la función f(x) debemos integral la derivada de la función:

 

 

La integral que nos queda ahora, la resolvemos por partes:

 

 

Aplicando la fórmula de la integración por partes: 

 

 

Poniendo el resultado de las dos integrales, nos queda:

 

 

 

Para calcular la constante de integración, sabemos que la función pasa por el punto (1,0), por lo tanto :

 

Por lo que la función que nos piden es la siguiente:

 

 

b)  Para calcular los intervalos de curvatura de la función, necesitamos la segunda derivada:

 

 

 

Igualamos la segunda derivada a cero, para calcular los posibles puntos de inflexión:

 

 

Teniendo en cuenta el dominio y el posible punto de inflexión, miramos el signo de la segunda derivada:

 

Los intervalos pedidos son: