Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

3.    

a)        Definición e interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto.

b)        De una función f(x) sabemos que    y que su función derivada es:

 

 

Calcula las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisa:    y    .

 

 

a)   La derivada de una función real en un punto a del dominio mide la variación en el incremento de la función alrededor del punto respecto de la variación en el incremento de la variable alrededor del punto. Si hacemos que esa variación tienda a cero tenemos la definición de derivada en un punto, que sería el siguiente límite:

 

 

La interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente en ese punto.

 

 

b)  Vamos a comprobar si la función es derivable en x = 0, para ello calculamos las derivadas laterales en ese punto:

 

 

Por lo tanto, sabemos que la función es derivable en x = 0, y eso implica que también es continua en ese punto.

 

Ahora vamos a integrar los dos trozos de la función para obtener su primitiva:

 

 

 

La función sería entonces esta:

 

 

Tenemos que calcular las constantes de integración. La primera de ellas, C, la obtenemos del dato que nos dice que , ya que  lo toma en ese trozo de la función:

 

 

 

La función ahora quedará:

 

 

La constante D, la calculamos al saber que la función tiene que ser continua en x = 0:

 

 

 

 

 

Definitivamente la función queda así:

 

 

Ahora, vamos a calcular las rectas tangentes.  Necesitamos la otra coordenada de los puntos:

 

 

 

 

 

Sólo nos quedan las pendientes de las rectas, que las calculamos substituyendo la abscisa del punto de tangencia en la función derivada:

 

 

 

 

 

Con todo lo calculado, podemos escribir las dos ecuaciones de las rectas tangentes: