Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2016

2.   Dados los planos    ; 

a)  Calcula el ángulo que forman    y  . Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por (0,0,0) y es paralela a    y  .

b)  Calcula el punto simétrico del (0,0,0) respecto del plano  .

a)  El  plano    está  en  la  ecuación  general  o  implícita, por lo que su vector normal es  , mientras que el plano    está en las ecuaciones paramétricas. Vamos a pasarlo también a la ecuación general:

Por lo tanto el vector normal de este plano sería . Por lo que podemos calcular el ángulo que forman los dos planos:

Después de calcular el ángulo sabemos que los planos anteriores son secantes, por lo que determinan una recta. La recta que nos piden tiene que ser, por lo tanto, paralela a la recta en la que se cortan los planos. El vector de esa recta es perpendicular al mismo tiempo a los vectores normales de ambos planos. Vector que podemos calcular con el producto vectorial: 

Este vector o cualquiera proporcional nos da la dirección de la recta que nos pedían. Por lo tanto el vector director de la recta podría ser:  . Con este vector y con el punto que nos dan escribimos las ecuaciones paramétricas:

b)  Para calcular el punto simétrico del punto P(0,0,0) respecto del plano    vamos a calcular una recta s, perpendicular al plano que pase por el punto P. Por lo tanto, el vector director de esa recta llevará la misma dirección que el vector normal del plano:

Ahora vamos a calcular el punto M, donde se corta la recta s y el plano . Para ello substituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano:

Con el valor del parámetro calculamos el punto sustituyéndolo en las ecuaciones paramétricas de la recta:

Este punto es el punto medio entre el punto P y su simétrico, P’: