Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2016

4)  El peso de las lubinas capturadas por los pesqueros de un puerto de la costa gallega se distribuye normalmente con media  y desviación típica  gramos. Se elige una muestra aleatoria de 25 lubinas de dicho puerto.

(a)    Se obtiene el intervalo de confianza  para la media . Calcula el peso medio de las lubinas de la muestra y el nivel de confianza con el que se ha construido el intervalo.

(b)   Utilizando  el  peso  medio  de  la  muestra  obtenido  en  el  apartado  (a),  formula  un  test para contrastar que el peso medio de las lubinas que allí se pescan es de por lo menos 2 500 gramos como afirman los pescadores del lugar, frente a que es inferior. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?

 

(a)    Sea “X: peso de las lubinas capturadas por los pesqueros de un puerto de la costa gallega”.   

 

Como tenemos un intervalo de confianza para el peso medio de las lubinas de la muestra y los intervalos están centrados en la media, podemos calcular el peso medio de las lubinas como la media aritmética de los extremos de ese intervalo:

 

 

El intervalo e confianza para la media tiene la siguiente expresión:

 

 

Como en este caso tenemos el intervalo de confianza:

 

 

Igualamos y resolviendo cualquiera de las dos ecuaciones obtenemos :

 

 

Mirando en la tabla de la distribución normal, podemos calcular la probabilidad que deja ese valor tras de sí:

 

A partir de aquí podemos calcular el nivel de confianza:

 

 

 

 

Por lo tanto, el intervalo de confianza se ha construido con un nivel de confianza del 97,0%.

 

(b)    Las hipótesis nula y alternativa, para este caso serían:

 

 

El estadístico de prueba sería:    

 

Establecemos la región crítica: 

 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Como    Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con el riesgo de equivocarnos del 5%, concluiríamos que el peso medio de las lubinas capturadas por los pesqueros de un puerto de la costa gallega es menor a 2 500 gramos (el   último   riesgo   de   equivocarnos,   ante   esta   afirmación,   es  el  valor  de , es decir, de un 2,28%, siendo por lo tanto el test muy significativo).