Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2016

2)  Los gastos de mantenimiento G(t), en miles de euros, de la maquinaria de una empresa se estiman en función del tiempo t, en meses, que dicha maquinaria lleva en funcionamiento por:

(a)    Calcula  los  intervalos  de  crecimiento  y  de  decrecimiento  del  gasto  de  mantenimiento.  ¿En algún mes el gasto es mínimo? En ese caso, ¿a cuánto asciende?

(b)   Determina  en  qué  mes o meses el gasto es de 3 000 euros. Justifica y calcula el valor al que tiende el gasto con el paso del tiempo.

(a)    Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función calculamos en qué puntos se anula la primera derivada:

Al igualar a cero la primera derivada obtenemos dos ecuaciones que no tienen solución, por lo que la función no tiene ni máximos ni mínimos relativos. Con el dominio de la función, miramos el signo que toma la primera derivada para calcular la monotonía:

Por lo tanto, los gastos en mantenimiento de la maquinaria descendieron los 18 primeros meses y a partir de ese momento aumentaron.

Vamos a calcular los gastos en el mes décimo octavo:

Vista la gráfica del crecimiento y decrecimiento, se concluye que el mínimo gasto en el mantenimiento  de  la  maquinaria  se  produce  al  año  y  medio (18 meses) y ascendió a 1 500 €.

(b)    Para saber cuándo el gasto ascendió a 3 000 € igualamos la función a ese valor:

El gasto en el mantenimiento de la maquinaria ascendió a 3 000 € a los cuatro meses y medio y a los treinta y cuatro meses.

Para saber el valor al que tiende el gasto, calculamos el límite cuando el tiempo tienda a infinito:

Con el paso del tiempo el gasto en el mantenimiento de la maquinaria tiende a 6 000 €.