Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2016

2)  Sea la función de población    ,  , donde t es el tiempo transcurrido en años y P(t) la población en millones de individuos.

(a)    Estudia  el  crecimiento  y  decrecimiento  de  la  población.  Calcula  el  valor  máximo  de  la población.

(b)    Calcula cuando la población es de 9,6 millones de individuos. Estudia el comportamiento de la población a largo plazo.

 

(a)    Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función calculamos en qué puntos se anula la primera derivada:

 

 

 

Teniendo en cuenta el dominio de la función  y los posibles extremos relativos (sólo puede ser t = 3, porque el otro no pertenece al dominio) estudiamos el crecimiento de la función mirando el signo que toma la primera derivada:

 

 

 

Por lo tanto, el crecimiento y decrecimiento de la función será:

 

 

 

Si antes del tercer año la población y crece y a partir de ahí decrece, es justo ahí donde la función tendrá el máximo:

 

En el tercer año la población es máxima y habrá 10 millones de individuos.

 

(b)    Para  saber  cuándo  la  población  es  de  9,6 millones  de  individuos  igualamos la función a este valor:

 

 

 

Se alcanzará una población de 9,6 millones de individuos al año y medio y después de 6 años.

 

Para saber cómo variará la población a largo plazo, calculamos el límite cuando el tiempo tienda a infinito:

 

 

 

A largo plazo la población tenderá a 8 millones de individuos.