Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2016

4)  Un estudio revela que por lo menos el 80% de los universitarios gallegos practican algún deporte. Elegida una muestra aleatoria de 200 universitarios gallegos se ha comprobado que 146 de ellos practican algún deporte.

(a)    Formula  un  test  para  contrastar  la afirmación del estudio frente a que menos del 80% de los universitarios gallegos practican algún deporte. ¿A qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?

(b)    A  partir  de  la  muestra  dada, calcula un intervalo del 95% de confianza para la proporción de universitarios gallegos que practican algún deporte. Interpreta el intervalo obtenido.

 

(a)    Sea “p: proporción (poblacional) de universitarios gallegos que practican algún deporte”.

 

Tenemos que si  es el estadístico proporción de la muestra de estudiantes universitarios gallegos que practican algún deporte, el valor particular que toma este estadístico para la muestra dada es:

 

 

Formulamos el test para contrastar la información: 

El estadístico de prueba sería:   

 

 

 

 

Para un nivel de significación del 5% establecemos la región crítica:

 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. Con los datos de esta muestra y con un riesgo de equivocarnos del 5%, concluiríamos que el porcentaje de universitarios gallegos que practica algún deporte es menor del 80% (el último riesgo de equivocarnos, ante esta afirmación, es el valor de , es decir, aproximadamente de un 0,68%, siendo por lo tanto un test significativo).

 

(b)    La expresión del intervalo de confianza para la proporción sería:

 

 

 

Vamos a calcular, a partir del nivel de confianza, :

 

 

 

Substituimos y calculamos el intervalo:

 

 

 

En el intervalo  del 95% de confianza se encuentra la proporción de estudiantes universitarios gallegos que hace algún deporte.