Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2016

4)  Un fabricante garantiza a un laboratorio farmacéutico que sus máquinas producen comprimidos con un diámetro medio no superior a 13 milímetros, que es el tope admitido por el laboratorio. Se sabe que el diámetro de los comprimidos del fabricante sigue una distribución normal con desviación típica 0,6 milímetros. El laboratorio comprueba una muestra aleatoria de 100 comprimidos de ese fabricante y obtiene que el diámetro medio es de 13,12 milímetros.

(a)    Formula un test para contrastar que el diámetro medio de los comprimidos es el que afirma el fabricante, frente a que es superior. ¿A qué conclusión se llega con un 5% de nivel de significación?

(b)    Calcula  un  intervalo  del  95%  de  confianza  para  el  peso  medio  de  los  comprimidos  de ese fabricante. Interpreta el intervalo obtenido.

 

(a)    Sea “X: diámetro medio de los comprimidos”. 

 

El  fabricante  garantiza que producen comprimidos con un diámetro medio no superior a 13 milímetros, es decir, . Para contrastar tal afirmación el laboratorio farmacéutico escoge una muestra aleatoria de 100 comprimidos de ese fabricante y obtiene un diámetro medio de 13,12 milímetros.

 

: estadístico media muestral  

 

La hipótesis nula y alternativa para este caso, serían: 

 

El estadístico de prueba sería:   

 

 

Establecemos la región crítica:

 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

. Con los datos de esta muestra y con un riesgo de equivocarnos del 5%, concluiríamos que el diámetro medio de los comprimidos es superior al que afirma el fabricante. El riesgo de equivocarnos, ante esta afirmación, es el valor de , es decir, aproximadamente de un 2,28%, siendo por lo tanto un test significativo.

 

(b)    En el enunciado de este apartado hay un error. Debería de decir: “Calcula un intervalo del 95% de confianza para el diámetro medio de los comprimidos de ese fabricante”. Puesto que para el peso medio es imposible calcular intervalo ninguno ya que no disponemos de datos al respecto.

 

Haremos el problema como si el enunciado nos pidiera el intervalo para el diámetro. La expresión del intervalo de confianza es:

 

 

Calculamos 

 

Con todos estos datos ya podemos calcular el intervalo de confianza:

 

 

Se puede concluir que el 95% de los comprimidos tienen un diámetro medio comprendido entre 13,00 y 13,24 milímetros.