Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2016

2)  El  número  de  personas,  en  cientos,  que  ha  visitado  una  exposición  que  ha  permanecido abierta  durante  tres  meses  en  un  museo,  se  ha  estimado  por  la  función  ,  , donde t es el tiempo transcurrido en meses desde la inauguración.

(a)    Calcula  los  valores  de  a  y  b,  si  se  sabe  que  en  el  segundo  mes  se alcanzó el máximo de 400 visitantes.

(b)    Para a = 3  y  b = 0, estudia en qué periodo de tiempo se ha registrado un aumento y en el que se ha registrado una disminución del número de visitantes. Estudia la concavidad y la convexidad de la función y representa su gráfica.

(a)    Para calcular los posibles puntos críticos de una función necesitamos la primera derivada:

Si la función tiene un máximo en t = 2:

Como además la imagen de la función para t = 2 es  400:

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores calculamos los valores de a y b que nos piden:

(b)    Para estudiar el crecimiento y el decrecimiento de la función necesitamos saber todos los puntos críticos de la misma. Substituimos los valores de a y de b en la primera derivada del apartado anterior e igualamos a cero:

Teniendo en cuenta el dominio de la función y los posibles máximos y mínimos calculamos la monotonía de la función:

Por lo tanto, en los dos primeros meses se ha registrado un aumento del número de personas que han visitado la exposición, mientras que en el último mes ha bajado la afluencia de visitas.

Para estudiar la curvatura necesitamos hacer la segunda derivada e igualarla a cero:

Con este posible punto de inflexión y con el dominio estudiamos la concavidad y la convexidad:

Con todo lo calculado hacemos la representación gráfica: