Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2016

2)   

(a)    Calcula los valores de a y b para que la función    tenga un punto de inflexión en  .

(b)  Consideremos la función . Calcula y  clasifica  sus  extremos  relativos.  Determina el punto o puntos en los que la recta tangente a la gráfica de la función tiene pendiente igual a 9.

 

(a)    Para calcular los posibles puntos de inflexión de una función necesitamos la segunda derivada:

 

 

 

Si la función tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa 2, se cumple que:

 

 

Como además la función pasará por ese punto, se debe cumplir que:

 

 

Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores calculamos los valores de a y b que nos piden:

 

 

(b)    Para calcular los posibles extremos relativos calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

 

 

 

Calculamos la segunda derivada y substituimos los posibles extremos relativos:

 

 

 

 

Vamos a calcular la segunda coordenada de cada uno de ellos:

 

 

 

Por lo tanto la función tiene los dos extremos relativos siguientes:

 

 

 

Ahora, como la primera derivada de una función nos da la pendiente de la recta tangente, igualamos esa primera derivada a nueve para obtener la abscisa de eses puntos de tangencia:

 

 

Calculamos la ordenada de esos puntos substituyendo en la función:

 

 

 

Así pues los puntos donde la recta tangente a la función tiene pendiente nueve son: