Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2015

1.     

a)   Discute, según los valores de m, el sistema de ecuaciones:

b)   Resuelve, si es posible, el sistema cuando  .

a)    Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

Calculamos el rango de la matriz A:

Ahora calculamos uno de los determinantes de la matriz ampliada A^* y discutimos el sistema en función de los valores que anulen ese determinante:

Los casos que tenemos son:

·     Si 

·     Si 

b)  Para el caso de    el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Se ve, por ejemplo, que si multiplicamos la primera por dos y le sumamos la segunda, obtenemos la tercera. La última es por tanto combinación lineal de las dos anteriores. Por eso podemos eliminar cualquiera de las dos primeras:

Ahora ponemos una de las incógnitas como parámetro, por ejemplo , y resolvemos por la regla de Cramer:

La solución del sistema para    es: