Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2015

3.     

a)   Calcula los valores de a y de b para que la función    sea derivable en x = 1. (Nota: ln = logaritmo neperiano)

b)  Para  los  valores     y  , determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x).

a) Para que la función sea derivable, tiene que ser continua. Vamos entonces primero a estudiar la continuidad en x = 1:

Para que sea continua:

Ahora, estudiamos la derivabilidad. Para eso derivamos la función:

Calculamos las derivadas laterales en el punto x = 1:

Para que sea derivable, las derivadas laterales deben ser iguales:

Con la condición de continuidad y con la de derivabilidad, calculamos los valores de a y b que nos piden:

b)   La función y la derivada para eses valores quedarán:

El dominio de la función f(x) es , ya que el primer trozo es una función polinómica y el segundo no le podríamos dar el valor cero ni números negativos, pero la propia función nos dice que para ese trozo tenemos que dar valores mayores que uno.

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento igualamos la primera derivada a cero:

El segundo valor lo descartamos, porque no pertenece al intervalo en el que está definido ese segundo trozo  . Con el punto 3/4 y con el 1, que es el que nos divide en dos trozos la función, miramos el signo de la primera derivada.

f(x) es creciente en: 

f(x) es decreciente en: