Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2015

2.    Dada la recta 

a)   Calcula   la   ecuación  implícita  o  general  del  plano  que  es  paralelo  a  r  y  pasa  por  los  puntos  A(0,1,2) y B(5,3,1).

b)   Calcula el punto de corte de r con el plano perpendicular a dicha recta y que pasa por B(5,3,1).

c)    Calcula      la      ecuación      implícita      o    general    del    plano    que    es    paralelo    al    plano     y dista    unidades de la recta r.

a)  Con los puntos A y B, vamos a hacer un vector  . Además vamos a calcular el vector director de la recta r, lo hacemos multiplicando vectorialmente los vectores normales de los planos que determinan la recta:

Con los dos vectores calculados y con uno de los puntos tenemos calculado el plano que nos piden:

Podemos simplificarlo:

b)   Para calcular el plano perpendicular a r, sabemos que el vector director de la recta es el vector normal de dicho plano, por lo tanto:

Como sabemos que B es un punto del plano, calculamos D:

Simplificando nos queda:

Ahora, vamos a poner la recta en las ecuaciones paramétricas, para eso, necesitamos el vector director, que ya lo tenemos, y un punto:

Con el vector director y el punto tenemos las ecuaciones paramétricas de la recta:

Para calcular el punto de corte, substituimos las ecuaciones paramétricas de la recta en el plano:

Por último, vamos a la recta y obtenemos el punto de corte:

El punto de corte de la recta r y del plano perpendicular es: 

c)   El plano  , es el que obtuvimos en el primer apartado, por lo que es paralelo a la recta r. Si hacemos un plano paralelo a este, también va a ser paralelo a la recta. Un plano paralelo, de forma general será:  . Si como decíamos este plano es paralelo a r, cualquier punto de la recta tiene que estar a la misma distancia del plano, es decir, tiene que estar a una distancia de  unidades:

Hay dos planos que se encuentran a esa distancia de la recta r: