Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2015

 

1.     

a)   Define menor complementario y adjunto de un elemento en una matriz cuadrada.

b)   Dada la matriz 

 

                    i.     Calcula  el  rango,  según  los  valores  de  , de  , siendo I la matriz unidad de orden 3.

                  ii.     Calcula la matriz X que verifica  .

 

a)    Se llama menor complementario de un elemento a_ij de una matriz de orden n, al valor del determinante de orden  que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Se designa por M_ij.

Se llama adjunto del elemento a_ij, al menor complementario anteponiendo:

El signo + si i+j es par.

El signo  si i+j es impar.

 

b)    

                    i.     Primero calculamos la matriz de la que nos piden el rango:

Vamos a calcular el rango por determinantes, así que para eso calculamos el determinante de la matriz anterior:

Igualamos el determinante a cero y tenemos los valores a partir de los cuales discutiremos el rango:

Tendremos, por lo tanto, los siguientes casos:

· Si , ya que el determinante de orden 3 es distinto de cero.

· Si  , porque los determinantes de orden 3 son cero, pero encontramos algún determinante de orden 2, en cada caso, distinto de cero.

 

                   ii.     Primero despejamos la matriz X:

Como en el apartado anterior calculamos la matriz  , substituyendo    por 3, obtenemos la matriz   y el determinante de la misma:

Ahora calculamos la matriz adjunta:

Calculamos la traspuesta:

La inversa sería:

Calculamos la matriz 2A:

Multiplicamos la matriz 2A  por la inversa que calculamos: