Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2015

2)   Una firma de confección determina que, con el fin de vender x prendas, el precio por cada una de ellas debe ser    euros, y que el coste total de producir x prendas está dado por    euros.

(a)      Calcula los ingresos totales y el beneficio total.

(b)   ¿Cuántas  prendas  debe producir y vender con el fin de maximizar los beneficios totales? ¿A cuánto asciende el beneficio total máximo?

(c)      ¿Qué precio debe cobrar por prenda con el fin de producir este beneficio total máximo?

(a)   Los ingresos totales los calculamos multiplicando el número de unidades vendidas, x, por el precio de venta de cada una, p(x):

El beneficio lo calculamos restando a los ingresos, I(x), los costes, C(x):

(b)     Para calcular los posibles máximos y mínimos de la función beneficios, derivamos la función e igualamos a cero:

Para saber si al fabricar 100 prendas los beneficios son máximos o mínimos, substituimos ese valor en la segunda derivada:

Ahora calculamos a cuánto ascienden esos beneficios máximos:

Para maximizar los beneficios se deben vender 100 prendas y se obtendrían por su venta unos beneficios de 3.500 €.

(c)   Para saber el precio de cada prenda, vamos a la función de precio unitario de venta y substituimos el número de prendas que producen el máximo beneficio:

Para producir un beneficio máximo debe vender cada prenda a 100 €.