Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2015

4.    La puntuación del coeficiente intelectual CI, en un estudio sobre cierta población de niños, sigue una distribución normal de media 100 puntos y desviación típica de 16 puntos.

(a)     Se  escoge  una  muestra  aleatoria  de 25 niños de esa población. Calcular la probabilidad de que la puntuación media del CI en esa muestra sea superior a 108 puntos.

(b)     Con  objeto  de  contrastar  la  puntuación  media  del CI en esa población con la de los niños de cierta Comunidad Autónoma (CA), se selecciona una muestra aleatoria de 400 niños de la CA y se obtiene una puntuación media de 101 puntos de CI. Suponiendo que se sigue manteniendo la desviación típica, formula un test para contrastar que la puntuación media no supera los 100 puntos frente a que es superior en dicha CA. ¿A qué conclusión se llega con un 5% de nivel de significación?

(a)      Sea “X: puntuación en un estudio sobre el coeficiente intelectual”. 

La distribución de las puntuaciones medias también es una distribución normal:

Formulamos y calculamos la probabilidad pedida:

La probabilidad de que la puntuación media del CI en esa muestra sea superior a 108 puntos es de 0,0062.

(b)     Y = “puntuación media del CI”  

La hipótesis nula y alternativa para este caso, serían: 

El estadístico de prueba sería:   

Establecemos la región crítica:

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

. Con los datos de esta muestra y con un riesgo de equivocarnos del 5%, concluiríamos que la puntuación media del test del CI de cierta Comunidad Autónoma no es superior al de la población.