Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

OPCIÓN B

 

4.     

a)   Calcula  dx

b)   Enuncia el teorema fundamental del cálculo integral. Si  dt, calcula   .

 

a)   Primero, vamos a calcular la integral indefinida:

 

 

Esta integral la vamos a resolver por cambio de variable:

 

 

Volviendo a la integral y substituyendo:

 

 

Vamos a descomponer la fracción que nos queda dentro de la integral en suma de dos fracciones simples:

 

 

Como los denominadores de estas dos fracciones son iguales, para que se cumpla la igualdad, llega con que sean también iguales los numeradores:

 

                              

 

 

 

Volviendo a la integral, resolvemos y deshacemos el cambio de variable:

 

 

 

Ahora calculamos la integral definida:

 

 

 

 

b)   El enunciado del teorema fundamental del cálculo integral sería:

 

Si    es continua en , entonces    es derivable en  y  .

 

Para calcular el límite, primero debemos calcular F(x):

 

 

Esta integral es la del apartado anterior:

 

 

 

Una vez calculamos F(x), podemos calcular el límite. La indeterminación la resolvemos aplicando L’Hôpital: