Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2014

4.  Dibuja y calcula el área de la región limitada por la gráfica de la parábola    y la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto correspondiente a x =1. (Nota: para el dibujo de las gráficas, indicar los puntos de corte con los ejes, el vértice de la parábola y concavidad o convexidad).

a)    Hacemos los cálculos necesarios para dibujar la parábola:

Corte eje OX:  y=0

    ⇒  Punto de corte: 

Corte eje OY:  x=0

   ⇒   Punto de corte : 

Vértice:

Curvatura:

La parábola es cóncava ya que  .

Vamos a calcular la recta normal a la parábola en el punto x = 1. La otra coordenada del punto es común a la recta y a la parábola, por lo tanto la calculamos así:  . Ese punto, es por tanto, el   

Para calcular la pendiente necesitamos el valor de la derivada de la función en el punto x = 1:

Con estos datos, podemos escribir la ecuación de la recta normal:

Vamos a calcular los puntos de corte de la recta con los ejes de coordenadas:

Corte eje OX:  y=0

    ⇒  Punto de corte: 

Corte eje OY:  x=0

   ⇒   Punto de corte : 

Con todo lo calculado, hacemos la gráfica e identificamos el área a calcular:

Para plantear la integral, necesitamos los puntos de corte de la recta y de la parábola:

Planteamos la integral: