Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

OPCIÓN B

 

3.    Dada la función   .

 

a)   Calcula  los  valores  de  a, b y m  para  que  f(x)  sea  derivable  en  x = 1 y tenga un extremo relativo en x = 3.

b)   Enuncia  el  teorema  del  valor  medio  del  cálculo  diferencial.  Para  los valores  ,    y  , calcula, si existe, un punto   tal que la tangente a la gráfica de  f(x)  en  x = c  sea paralela al segmento que une los puntos  y .

 

a)  Para que la función sea derivable debe ser continua. Vamos, por lo tanto, a estudiar primero la continuidad. El único punto donde puede no ser continua la función es en x = 1, ya que el dominio de la misma es . Para estudiar la continuidad en un punto debemos calcular la imagen del mismo y los límites laterales:

 

 

Como tanto los límites laterales como el valor de la función en el punto tienen que ser iguales para que la función sea continua en x = 1, se debe cumplir que:

Ahora vamos a estudiar la continuidad. Para que una función sea derivable, la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha deben ser iguales:

 

De la derivabilidad sacamos otra ecuación:

Nos dice que la función tiene un extremo relativo en x = 3. Para calcular los máximos y mínimos tenemos que derivar la función:

Como tiene un extremo en x = 3:

Ahora tenemos 3 ecuaciones y 3 incógnitas, con lo que resolvemos el sistema y calculamos los valores pedidos:

De las dos primeras ecuaciones calculamos a y m:

De la tercera calculamos b:

Los valores que nos piden son:

 

b)   El enunciado del teorema del valor medio del cálculo diferencial sería:

Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y derivable en un intervalo abierto (a,b), entonces existe un punto    tal que   = .

 

Los valores que nos dan para a, b y m son los obtenidos en el apartado anterior, por lo tanto, ya sabemos que la función va  a ser continua y derivable en . Entonces también lo va a ser en el intervalo que nos dan y vamos a poder aplicar el teorema del valor medio. El punto c es el punto al que hace referencia dicho teorema, que quedará ahora así:

 

Si f(x) es una función continua en un intervalo cerrado [0,5] y derivable en un intervalo abierto (0,5), entonces existe un punto    tal que   = .

 

La función será:

Necesitamos la derivada de la función en el punto c:

La imagen de los extremos del intervalo ya nos lo da el enunciado:

Aplicamos el teorema:

Como  , es el punto donde la recta tangente a la gráfica es paralela al segmento que une los puntos