Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

OPCIÓN B

   2.    Dadas las rectas    y   .

 

a)   Estudia su posición relativa. Si se cortan, calcula el punto de corte.

b)   Calcula  la ecuación implícita o general del plano que contiene a r y a s.

c)    Calcula la distancia del punto Q(1,1,4) a la recta s.

 

a)    Vamos a poner la recta r en paramétricas, para ello pasamos la z como parámetro   y resolvemos el sistema que queda:

 

 

Por lo tanto, la recta nos queda así:

 

 

Ahora, para calcular la posición relativa de las rectas igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas y substituimos el valor de µ en las otras ecuaciones para calcular λ:

 

 

Como el sistema es compatible determinado y tiene, por lo tanto, una única solución, las rectas son secantes y se cortan en un punto. Para calcularlo basta con substituir µ en la recta r o λ en la recta s:

 

 

El punto de corte de r y s es 

 

b)   Para calcular la ecuación del plano que contiene a las dos rectas, necesitamos dos vectores que serían los vectores directores de las rectas y un punto, que valdría un punto cualquiera de las rectas:

 

 

c)    La distancia de un punto a una recta la podemos calcular de esta manera:

 

 

Tenemos ya el vector director de la recta s y un punto de la misma:

 

 

Nos falta calcular el vector que va desde el punto de la recta al punto Q:

 

 

Ahora vamos a calcular el producto vectorial que necesitamos:

 

 

Calculamos el módulo de este vector:

 

 

Aplicando la fórmula calculamos la distancia: