Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2014

 1.    a)   Discute, según los valores del parámetro m, el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

b)   Resuelve, si es posible, el sistema anterior para el caso de  .

a)    Planteamos dos matrices, la de coeficientes (A) y la ampliada con los términos independientes (A^*):

Calculamos el determinante de la matriz A y lo igualamos a cero para saber qué valores anulan dicho determinante y poder así discutir los rangos:

Los casos que tenemos son:

·     Si 

·     Si  ,  ya que  .

Pero la A^* puede tener rango 3, tenemos que calcular los tres determinantes siguientes para comprobarlo:

b)   Para el caso de    el sistema es compatible indeterminado, por lo tanto una de las ecuaciones es combinación lineal de las otras. Se ve, por ejemplo, que si multiplicamos la primera por    obtenemos la segunda, por lo que eliminamos una de las dos:

Ahora ponemos una de las incógnitas como parámetro y resolvemos por la regla de Cramer:

La solución del sistema para    es: