Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

OPCIÓN A

 

4.     

a)   La segunda derivada de una función f(x) es  . Además la tangente a la gráfica de f(x) en el punto (0,1) es paralela a la recta  . Calcula  f(x).

b)   Calcula:   .

 

a)    Para obtener f’(x), debemos obtener una primitiva de f’’(x), por lo tanto sólo tenemos que integrar esta última:

 

 

Entonces:   .

 

Como nos dice la que la tangente a la gráfica en el punto (0,1) es paralela a la recta  , sabemos que la pendiente de esta recta es m = 1. Como la pendiente de la recta tangente a una función se calcula substituyendo la coordenada x del punto de tangencia en la primera derivada, tenemos:

 

 

La primera derivada quedará entonces: 

 

Para calcular f(x), repetimos el proceso, f(x) es una primitiva de f’(x), para obtenerla debemos integrar esta última:

 

Para calcular la constante de integración, sabemos que esta función es tangente a la recta que nos daba el problema en el punto (0,1), por lo que ese punto también es un punto de la función. Entonces:

 

La función quedará así:

 

b) Para calcular la integral definida, primero vamos a calcular la indefinida, es decir, sin los límites de integración. Es una integral que podemos resolver por partes:

 

 

Aplicando la fórmula de la integración por partes, tenemos:

 

 

 

 

 

 

Ahora resolvemos la integral definida: