Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

3.     

a)   Calcula   .

b)   Queremos  dividir  un  hilo  metálico  de  70  metros  de  longitud  en  tres  partes  de  manera  que  una  de  ellas tenga doble longitud que otra y además que al construir con cada parte un cuadrado, la suma de las áreas de los tres cuadrados sea mínima. Calcula la longitud de cada parte.

a)  Calculamos   el   límite   siguiente,   aplicado   dos   veces   la   regla   de   L’Hôpital,   para   resolver   las   indeterminaciones:

b)   Si dividimos el hilo en 3 partes y una tiene doble longitud que otra, es decir, una va a medir 2x y otra x. La que queda medirá  . Con estas partes hacemos cuadrados, el área de éstos será:

Calculamos los máximos y mínimos de la función. Para eso hacemos la primera derivada e igualamos a cero:

El valor obtenido es un posible máximo o mínimo, para saber qué es, lo substituimos en la segunda derivada:

Por lo tanto, los tres trozos de hilo medirán: