Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2014

a)   Estudia la posición relativa de   y r. Si se cortan, calcula el punto de corte.

b)   Calcula el ángulo que forman   y r. Calcula el plano que contiene a r y es perpendicular a .

a)   Vamos a calcular la ecuación general del plano:

Simplificado, el plano nos queda: 

Ahora vamos a calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r, para ello vamos a poner z como parámetro :

Para calcular la posición relativa de la recta y del plano, basta con substituir las ecuaciones de la recta en el plano:

Como obtenemos solución, la recta y el plano se cortan en un punto. Para calcularlo tenemos que substituir el valor obtenido de  en las ecuaciones paramétricas de la recta:

El punto de corte es el (0,3,4).

b) El ángulo que forman la recta y el plano lo calculamos a partir del vector director de la recta, , y el vector normal del plano, que lo sacamos de la ecuación general del mismo, :

La recta y el plano se cortan formando un ángulo de 30⁰.

Para calcular el plano que contiene a r y es perpendicular al plano , que le vamos a llamar , tenemos dos vectores, uno el vector director de r y otro el vector normal de . Además cualquier punto de la recta r  va a pertenecer al plano , con lo que ya tenemos determinado el plano: