Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2014

4.    En un estudio sociológico se afirma que el tiempo medio que los jóvenes están conectados a la Red no supera las 60 horas mensuales. Se desea contrastar si actualmente sigue en vigor ese estudio, para eso, se entrevistan 400 jóvenes seleccionados al azar y se obtiene que el tiempo medio es de 62 horas. Suponemos que el tiempo dedicado por los jóvenes a conectarse a la Red sigue una distribución normal, de desviación típica 15 horas mensuales.

(a)    Formula  un  test  para  contrastar  la  hipótesis  de  que  el  tiempo  medio  mensual  dedicado  actualmente por los jóvenes a conectarse a la Red es el que afirma el estudio, frente a la alternativa de que aumentó. ¿A qué conclusión se llega con un 1% de nivel de significación?

(b)    Usando  la  información  recogida  en  la  muestra,  calcula  el intervalo del 95% de confianza para el tiempo medio mensual dedicado actualmente por la población de jóvenes a conectarse a la Red.

(a)      Sea “X = tiempo, en horas al mes, que un joven está conectado a la Red en el momento actual”.

: media muestral = tiempo medio que un joven está conectado a la Red en el momento actual, en muestras de 400 jóvenes. En nuestro caso   horas/mes.

Las hipótesis nula y alternativa son:   

El estadístico de prueba sería: 

Para un nivel de significación del 1%, establecemos la región crítica:  

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada: 

Como     Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con el  riesgo  de  equivocarnos  del  1%, concluiríamos que el tiempo medio mensual que dedican los jóvenes actualmente, a conectarse a la Red aumentó (el último riesgo de   equivocarnos,   ante   esta   afirmación,   es   el  valor  de , es decir, de un 0,38%, siendo por lo tanto el test muy significativo).

(b)  La expresión del intervalo de confianza para el tiempo medio mensual dedicado por los jóvenes a conectarse a la Red sería:

Calculamos 

Con todos estos datos ya podemos calcular el intervalo de confianza:

En base a la muestra dada, se estima con un 95% de confianza, que la media de horas mensuales que los jóvenes dedican actualmente a conectarse a la Red, está entre 60,53 horas y 63,47 horas.