Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2014

2.    Los ingresos (en millones de euros) obtenidos por cierta factoría en el período comprendido desde el año 2000 al 2010, se estimaron por la función:

donde x es el tiempo transcurrido en años (x = 1 corresponde al año 2000).

(a)      Calcula los ingresos obtenidos en el año 2002 y en el año 2007.

(b)     Determina  la  evolución  de  los  ingresos en el período comprendido  entre el 2000 hasta el 2010 (crecimiento y decrecimiento de la función I(x)). Calcula los ingresos máximo y mínimo.

(c)      Determina entre qué años de ese período los ingresos no superaron los 18 millones.

(a)      Para calcular los ingresos en los años pedidos, hacemos:

El ingreso obtenido en el año 2002 es de 18 millones de euros y en el año 2007 de 21 millones de euros.

(b)     Para calcular el crecimiento y decrecimiento hacemos la primera derivada de la función:

Igualamos a cero, para calcular los puntos críticos:

Miramos el signo de la primera derivada en los intervalos resultantes, para saber donde crece y donde decrece la función:

Los ingresos de la factoría aumentaron entre los años 2004 y 2008 y desde el año 2000 al 2004 y desde el 2008 al 2010 disminuyeron.

Para valorar los máximos y mínimos ingresos calculamos los ingresos en los siguientes años:

La factoría tuvo unos ingresos mínimos en el año 2004, con 17 millones de euros y unos ingresos máximos en el año 2008, con 22 millones de euros.

(c)      En el primer trozo de la función:

La factoría no superó los 18 millones de euros entre los años 2002 y 2006.

En el segundo trozo:

Resolvemos la ecuación de segundo grado:

No tiene solución en el intervalo [7,11], por lo tanto en esos años nunca los ingresos fueron inferiores a los 18 millones de euros.