Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2014

4.    La proporción de mujeres de una población portadoras de hemofilia es desconocida. Para estimarla se elige de forma aleatoria una muestra de 500 mujeres entre las que se encuentran 80 portadoras de la enfermedad.

(a)      Calcula un intervalo del 95% de confianza para la proporción de mujeres portadoras de hemofilia de esa población.

(b)    Suponiendo que aún no se tomó la muestra y que queremos hacer la estimación cometiendo un error no superior al 2%, con un 95% de confianza, ¿de qué tamaño debería ser dicha muestra?

(a)      Sea “p: proporción de mujeres portadoras de hemofilia de esa población”.

: proporción muestral de mujeres portadoras de hemofilia en muestras de 500 mujeres.

La expresión del intervalo de confianza para la proporción sería:

Como  :

En base a la muestra dada, se estima con un 95% de confianza, que la proporción de mujeres portadoras de hemofilia, está entre un 12,8% y un 19,2%.

(b)     Como nos dice que aún no se ha tomado ninguna muestra, no conocemos la estimación puntual previa de “p”, por lo que tenemos que tomar el caso más favorable, que es cuando p = 1/2, ya que la función   se maximiza para ese valor.

Nos dice que el error no debe superar el 2%, entonces:

Para garantizar ese error del 2% y con el nivel de confianza del 95%, necesitamos tomar muestras de, como mínimo, 2.401 mujeres de esa población.