Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2013

4.     

a)   Enuncia el teorema de Rolle. Determina el valor de a para que sea aplicable el teorema de Rolle a la función    en el intervalo [0,1]. Para este valor de a, calcula un punto c  (0,1) en el que la recta tangente a la gráfica de f(x) sea paralela al eje OX.

b)   Calcula  .

a)   El enunciado del teorema de Rolle sería:  Sea  f(x)  una función continua en [a,b], derivable en (a,b) y con f(a) = f(b). Entonces, existe algún  tal que  .

Buscar ese valor de c es buscar el valor que dice el teorema de Rolle, puesto que una recta paralela al eje OX tiene de pendiente 0 y cumple que  .

La función   es continua y derivable en , por ser una función polinómica, por lo tanto también lo es en el intervalo dado. Como   y  , entonces .

La función quedaría por lo tanto así:  . Calculamos la derivada e igualamos a cero, para calcular los valores de c:

   ⇒    . Como el valor negativo no pertenece al intervalo (0,1), el valor de c buscado sería:    .

b)  

   ⇒  

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   ⇒      ⇒