Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

3.   Calcula  el  dominio, las asíntotas, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos y mínimos de  .

Vamos a ir paso a paso calculando todo lo que nos pide.

·      Dominio:

Para calcular el dominio de una función con denominador, debemos mirar qué valores anulan el denominador, para quitarlos del dominio:  . Pero no hay ningún valor que haga que una exponencial tome valores negativos o cero. Por lo tanto:

·      Asíntotas:

o  Asíntotas verticales:

No hay, porque estas asíntotas se calculan en los puntos que no son del dominio de la función. Como el dominio son todos los números reales, no tendremos, por tanto, asíntotas verticales.

o  Asíntotas horizontales:

o  Asíntotas oblicuas:

No existen asíntotas oblicuas ya que hay horizontales.

·      Intervalos de crecimiento y decrecimiento:

Necesitamos hacer la primera derivada de la función:

Para calcular los puntos críticos (posibles máximos o mínimos), igualamos la primera derivada a cero y resolvemos:

Miramos el signo de la primera derivada en los intervalos que determinan estos dos valores:

·      Máximos y mínimos:

Hacemos la segunda derivada:

Los posibles extremos relativos son los valores que salieron de igualar la primera derivada a cero, es decir, el -1 y el 1/2. Para comprobar si son máximos o mínimos los substituimos en la segunda derivada:

Calculamos la otra coordenada de los máximos y mínimos:

Finalmente tenemos que:

Hay un mínimo en 

 Hay un máximo en