Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2013

3.    En una circunferencia de centro O y radio 10 cm se traza un diámetro AB y una cuerda CD perpendicular a ese diámetro. ¿A qué distancia del centro O de la circunferencia debe estar la cuerda CD, para que la diferencia entre las áreas de los triángulos ADC y BCD sea máxima?

Si colocamos la circunferencia en el origen de coordenadas:

En este caso el centro de la circunferencia estaría en el origen de coordenadas y por lo tanto la ecuación de ésta sería:

Siendo a la distancia de la recta CD al origen, la ecuación sería:

Necesitamos calcular las coordenadas de los puntos C y D, para después poder calcular el área de los triángulos. Para ello resolvemos el sistema:

   ⇒      ⇒    

La distancia entre ellos es:

Así el área del triángulo ADC es: 

Y la del triángulo BCD: 

Por lo tanto la función que debemos maximizar sería:

Para calcular los máximos y mínimos hacemos la primera derivada:

Hacemos     ⇒      ⇒  

La solución negativa no nos sirve, porque una distancia no puede ser negativa. Para comprobar si la otra maximiza o minimiza la función:

Operando queda:

Para comprobar si el valor de a obtenido es máximo, lo substituimos en la segunda derivada:

   ⇒  para    la función tiene un máximo