Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2013

2.     

a) Calcula las ecuaciones paramétricas de la recta r que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular al plano π determinado por los puntos A(1,0,2), B(2,1,3) y C(3,0,0).

b)   Calcula  los  posibles valores de a para que el punto P(a,a,a) equidiste de la recta r  y del plano π del apartado anterior.

a) Para calcular el plano necesitamos dos vectores que podrían ser, por ejemplo,   y  . Con estos dos vectores y un punto, por ejemplo el A, determinamos el plano π:

   ⇒  

Si la recta r es perpendicular al plano π, el vector normal del plano , es el vector director de la recta   y como pasa por el origen, tenemos un punto de la recta  . Por lo tanto las ecuaciones paramétricas serían:

  λ  

b)   La distancia de la recta r al punto P se calcula con el vector director de la recta, , y con un vector que va de un punto de la recta al punto P, . Como el punto O era un punto de la recta, el vector sería:  . Y la distancia se calcularía:

La distancia del punto P al plano π, se necesitan las coordenadas del punto y la ecuación del plano. Se calcula:

Como    ⇒    ⇒   . Por lo tanto los puntos pedidos son   y   .