Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2013

 1.    Dada la matriz 

a)   Calcula según los valores de m, el rango de A.

b)   ¿Coincide A con su inversa para algún valor de m? Para m = 0, calcula A⁶⁰.

c)   Si  m = 2  y  A  es  la matriz de coeficientes de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, ¿podemos afirmar que el sistema tiene solución única? Justifica la respuesta.

a)   Calculamos el determinante de orden 3 y lo igualamos a cero para saber qué valores anulan dicho determinante:

Los casos que tenemos son:

·      Si  .

·      Si  ,  ya que  .

·      Si  ,  ya que  .

b)   Para saber si la inversa de la matriz A coincide con la misma matriz para algún valor de m, vamos a calcular esta matriz:

Como ya teníamos calculado previamente el determinante de la matriz, la inversa quedaría:

Ahora igualamos la matriz a su inversa:

Para que dos matrices sean iguales, tienen que ser iguales todos sus elementos. Al hacerlo obtenemos:

Como se tienen que cumplir las dos ecuaciones al mismo tiempo, el único valor que las cumple es el cero. Así pues    para m = 0.

Para calcular la potencia pedida, vamos primero a calcular algunas potencias de la matriz para el valor de m = 0:

Como se puede observar con las potencias calculadas, las de exponente impar son todas iguales a la matriz A y las de exponente par son todas iguales a la matriz identidad. Por lo tanto la matriz pedida será:  .

c)    Si m = 2 la matriz de coeficientes del sistema sería:  .

El rango de esta matriz es 3, porque ya teníamos discutido el rango de la misma en el primer apartado de este ejercicio. El rango de la matriz ampliada (matriz de coeficientes y términos independientes) también sería 3, puesto que al añadir una columna más a la matriz anterior, el determinante mayor que se podría calcular también sería de orden 3 y por lo menos uno de los determinantes de este orden sería distinto de cero, puesto que siempre podríamos escoger el de los coeficientes. Así pues, aplicando el teorema de Roché-Fröbenius, como el rango de la matriz de coeficientes y de la matriz ampliada es igual a 3 y al número de incógnitas (porque la matriz de coeficientes tiene 3 columnas), el sistema sería compatible determinado, es decir, tendría una única solución.