Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2013

3.     

a) Enuncia el teorema de Bolzano. ¿Tiene la ecuación    alguna solución en el intervalo (0,1)? ¿Tiene esta ecuación más de una solución real?

b)   Calcula los valores de a y b para que 

a)   El enunciado del teorema de Bolzano, sería:

Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a,b] y toma valores de signo contrario en los extremos (), entonces existe al menos un c  (a,b) tal que f(c) = 0.

Con la ecuación  , podemos hacer una función:  . Esta función es continua en , ya que es una función polinómica. Por lo tanto también será continua en el intervalo [0,1]. Toma signos distintos en los extremos, puesto que   y  . Por lo tanto cumple las hipótesis del teorema de Bolzano, con lo que podemos afirmar que, por lo menos, va a existir un valor c  (0,1), en el que la función va a cortar el eje OX (f(c) =0) y éste va a ser la solución de la ecuación propuesta.

No tiene más de una solución real, porque es una función que crece en todo su dominio,  , ya que la primera derivada va a ser positiva para cualquier valor. Por lo tanto sólo va a poder cortar el eje OX en un solo punto.

b)   Cuando  , por lo tanto el límite a calcular quedaría:

 , que como es una indeterminación de L’Hôpital, derivamos arriba y abajo:

 ,  si   el límite va a dar siempre , por lo que la única posibilidad de que al final nos dé el resultado deseado, es que  , con lo que nos queda la misma indeterminación de antes. Para resolverla volvemos a aplicar L’Hôpital nuevamente:

 .

Este sería la solución final, por lo que la igualamos a 1 que es lo que nos dice que tiene que dar el límite, para calcular el valor de a:

   ⇒