Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2013

2)   El número de nacimientos anuales (en cientos) que se producen en una ciudad a partir del año 2000 viene dado por la función:

        t es el tiempo transcurrido en años (t = 0 corresponde al año 2000).

(a)     ¿Cuántos nacimientos se produjeron en el año 2000?

(b)   Estudia entre qué años se produjo un decrecimiento de la natalidad. Determina en qué año se produjo el menor número de nacimientos y cual fue ese número.

(c)      ¿Cuál es la tendencia del número de nacimientos en el futuro? Razona la respuesta.

(a)     Como t = 0 corresponde al año 2000, para saber los nacimientos en este año tendremos que hacer N(0):

El número de nacimientos anuales de esa ciudad en el año 2000 es 1.500.

(b)     Vamos a estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función, para eso hacemos la primera derivada e igualamos a cero:

Con estos valores y con el dominio de la función vamos a estudiar el signo de la derivada en los intervalos resultantes:

El decrecimiento en la natalidad se produjo entre el año 2000 y el 2006.

Viendo la monotonía de la función se deduce que en el año 2006 va a tener un mínimo. Para calcular cual fue el número de nacimientos ese año hacemos:

El menor número de nacimientos se produce en el año 2006, concretamente ese año sólo hubo 600 alumbramientos.

(c)      Para calcular la tendencia del número de nacimientos con el paso del tiempo, debemos resolver el siguiente límite:

Lo que quiere decir que con el transcurso del tiempo desde el año 2008 en adelante el número de nacimientos va a ir tendiendo a 1.000.