Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2013

2.  El precio de venta (en euros) de un artículos deportivo desde el momento inicial de su comercialización se ajusta a la función:

, en donde t es el tiempo transcurrido en meses.

a)   ¿Cuál es el precio inicial del artículo? ¿Y después de transcurridos 15 meses?

b)   Estudia en qué meses se produce un aumento y en los que se produce una disminución del precio del artículo. ¿Cuál es el precio máximo que alcanza el artículo? ¿Y el precio mínimo?

c)    Después   de   transcurridos   15  meses,   ¿habrá   algún  mes  en el que el precio sea inferior a 85 euros? Razona la respuesta.

a)   El precio inicial es:   €.

El precio transcurridos 15 meses:    €

b)   Para calcular cuando aumenta y cuando disminuye el precio, hacemos la primera derivada e igualamos a cero:

  ⇒      ⇒  

Mirando el signo que toma la primera derivada, en los intervalos resultantes y teniendo en cuenta que cuando dé positivo crece y cuando dé negativo decrece. Los intervalos quedan:

El precio aumenta los 10 primeros meses y disminuye de ahí en adelante 

El máximo se alcanza para t=10, donde el precio de venta es 100 €, y el mínimo se va a alcanzar para t=0 (80 €), porque a partir del máximo el precio disminuye siempre, pero como mucho el valor va a caer hasta los 87 €, ya que:   .

c)   Después de calcular el límite del apartado anterior, ya sabemos que a partir del 15º mes, el precio no va a bajar nunca de 87 €, por lo tanto nunca va a ser inferior a 85 €.