Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2013

4)   En cierto país, la renta anual familiar sigue una distribución normal de media 16260 euros y una desviación típica de 6320 euros. Un estudio realizado con 200 familias elegidas al azar en una comarca ha proporcionado una renta media de 15308 euros. Suponiendo que se mantiene la desviación típica,

(a)    calcula un intervalo de confianza del 95% para la renta media anual de las familias de la comarca.

(b)   formula un test para contrastar la hipótesis de que la renta media anual de las familias de la comarca es la misma, frente a la hipótesis de que es menor que la global para todo el país. ¿Cuál es la conclusión a la que se llega, con un nivel de significación del 5%? ¿Se llegaría a la misma conclusión si el nivel es del 1%?

(a)     Y = ”renta anual familiar de un cierto país”   ⇒  

Se quiere analizar la renta media anual de las familias de una comarca, por lo tanto la nueva variable sería:  X=”renta anual familiar de una comarca”  ⇒   . Para hacer el estudio, se toma una muestra de 200 familias, y si    es el estadístico medio de la muestra, el valor particular que toma para la muestra dada es .

La expresión del intervalo de confianza sería:

Calculamos 

Con todos estos datos ya podemos calcular el intervalo de confianza:

Se puede concluir que en base a la muestra dada, se estima con un 95% de confianza, que la renta media por familia de la citada comarca está entre 14.432,09 € y 16.183,91 €.

El estadístico de prueba sería: 

Establecemos la región crítica: 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada: 

Como     Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con el  riesgo  de  equivocarnos  del  5%, concluiríamos que la renta media anual familiar de una determinada  comarca  es  menor  que  la  renta  media  anual  familiar  para  todo  el  país (el último   riesgo   de   equivocarnos,   ante   esta   afirmación,   es   el  valor  de , es decir, de un 1,66%, siendo por lo tanto el test muy significativo).

Si el nivel de significación es del 1%:

Ahora, la nueva región crítica será: 

Como     Acepto H₀. Con los datos de esta muestra y con el riesgo de equivocarnos del 1%, concluiríamos que la renta media anual familiar de una determinada comarca es la misma que la renta media anual familiar para todo el país.

Al disminuir el nivel de significación, la región crítica disminuye, por lo que el estadístico de prueba deja de pertenecer a la región crítica y la conclusión a la que se llega es distinta.