Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2013

4.   En el proceso industrial de envasado de un producto, el peso de los envases se aproxima a una Normal de media 500 gramos y desviación típica 4 gramos. Los directivos de la empresa sospechan que la maquinaria de envasado está averiada y decidirán cambiarla si el peso medio de los envases es superior a 500 gramos. Para eso, analizan una muestra aleatoria de 30 envases y obtienen un peso medio de 501,5 gramos.

a)   Plantea un test para contrastar la hipótesis de que no es necesario cambiar la maquinaria frente a que si lo es, tal como sospechan los directivos, ¿a qué conclusión se llega con un nivel de significación del 5%?

b)   Explica el tipo de error que se cometería si decidiesen erróneamente no cambiar la maquinaria.

a)   Y = ”peso de los envases de un producto”   ⇒  

Las hipótesis nula y alternativa, para este caso, serían: 

El estadístico de prueba sería: 

Establecemos la región crítica: 

Evaluamos el estadístico de prueba, “bajo H₀ cierta”, para la muestra dada:

  ⇒  Rechazo H₀. Con los datos de esta muestra y con un riesgo de equivocarnos del 5%, concluiríamos que es necesario cambiar la maquinaria como sospechaban los directivos de la empresa. El riesgo de equivocarnos, ante esta afirmación, es el valor de , es decir, aproximadamente de un 2,02%, siendo por lo tanto un test significativo.

b)   Si se decidiera no cambiar la maquinaria, se tomaría la hipótesis nula, H₀, como cierta, siendo en realidad falsa. Cuando se acepta H₀ como cierta, siendo en verdad falsa, se comete un error tipo II.