Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Junio 2013

2.  La cantidad de madera (en metros cúbicos) que se extrae de una explotación forestal durante un periodo de cinco días viene dada por la función:  , en donde t es el tiempo transcurrido en días.

a)   Estudia  en  qué  periodos  se  ha  registrado un aumento y en los que se ha registrado una disminución de la cantidad de madera extraída.

b)   ¿En qué día o días se ha extraído la máxima cantidad de madera?, ¿y la mínima? Calcular la cantidad máxima y mínima de metros cúbicos de madera extraída.

c)    Representa gráficamente la función M(t), calculando, si los hay, los puntos de inflexión.

a)   Debemos calcular el crecimiento y decrecimiento de la función, para ello calculamos la primera derivada e igualamos a cero:

   ⇒      ⇒  

Mirando el signo que toma la primera derivada, en los intervalos resultantes y teniendo en cuenta que cuando dé positivo crece y cuando dé negativo decrece. Los intervalos quedan:

M(t) crece de

M(t) decrece de

b)   Según vemos en el estudio del crecimiento y del decrecimiento, el segundo día hay un máximo y el cuarto un mínimo, para saber si son absolutos o relativos debemos calcular las imágenes de los mismos y de los extremos de la función:

,  ,  ,    y 

Por lo tanto la máxima cantidad de madera se ha extraído el segundo día y el quinto con 20 m³ y la mínima, evidentemente, a tiempo cero, con 0 m³, que sería el mínimo absoluto. Una vez han empezado a extraer madera los días que menos han sacado han sido el primer día y el cuarto con 16 m³.

c)   Para calcular los puntos de inflexión hacemos la segunda derivada e igualamos a cero:

   ⇒     ⇒  

Miramos el signo que toma la segunda derivada en los  intervalos  resultantes.  Cuando  dé  positivo la función  es  convexa y cuando dé negativo cóncava.

Como vemos, en t=3 hay un punto de inflexión, pues la función cambia de cóncava a convexa. Así pues las coordenadas del punto de inflexión serían:  .

La gráfica quedaría así: