Problemas para plantear con un sistema

43.  Considera el sistema de ecuaciones    donde , , r y s son números reales arbitrarios.

Estudia el sistema según los valores de los parámetros, sabiendo que  .

44.   En un sistema de igual número de ecuaciones que de incógnitas, el determinante de la matriz de coeficientes es igual a cero. Responde a las siguientes preguntas de manera razonada:

a)   ¿Puede ser compatible?

b)   ¿Puede tener solución única?

c)    ¿Se puede aplicar la regla de Cramer?

45.   Julia compra 200 acciones de la empresa A, 150 de la empresa B y 100 de C y paga 3.300 € mientras que Pedro gasta 3.750 € por la compra de 50 acciones de A, 120 de B y 240 de C. Con estos datos, ¿es posible saber el precio de cada acción? ¿Y si se sabe que cada acción tiene un precio entero comprendido entre 1 y 12 €, ambos incluidos?

46.   Un pescadero compra el lunes de una semana 96 kg de sardina y 130 kg de bonito y paga por ello un total de 1.836 €. El lunes siguiente, el precio de la sardina ha subido un 20% y el del bonito un 30%. Ese día compra 40 kg de sardina y 50 kg de bonito, y paga un total de 918 €.

¿Hay datos suficientes para calcular el precio del quilogramo de sardina y del quilogramo de bonito? Si la contestación es afirmativa calcula dichos precios, si es negativa razona por qué no se puede hacer dicho cálculo.

47.    Cuando en el año 1800 Beethoven escribe su primera sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert el que compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de las edades de ambos músicos es igual a 77 años. Cinco años más tarde muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía Beethoven cuando compuso su primera sinfonía. Determina el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores.

48.   Se tienen tres lingotes, A, B y C, con la siguiente composición:

·     Lingote A: 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre.

·     Lingote B: 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.

·     Lingote C: 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

¿Qué peso habrá que tomar de cada uno de estos lingotes si se quiere fabricar un nuevo lingote que tenga 34 g de oro, 46 g de plata y 65 g de cobre?

49.   Las edades, en años, de un niño, su padre y su abuelo verifican las siguientes condiciones:

·     La edad del padre es  veces las de su hijo.

·     El doble de la edad del abuelo más la edad del niño y más la del padre es de 182 años.

·     El doble de la edad del niño más la del abuelo es 100 años.

a)   Establece las edades de los tres suponiendo que  .

b)   Para  , ¿qué sucede con el problema planteado?

c)   Suponiendo que  , ¿qué ocurre si en la segunda condición la suma es de 200 años en vez de 182 años?

50.  Tres amigos acuerdan jugar tres partidas de dados de forma que cuando uno pierda una partida entregará a cada uno de los otros dos una cantidad igual a la que cada uno de ellos posea en ese momento. Cada uno perdió una partida y al final cada uno tenía 24 €. ¿Cuánto dinero tenía cada jugador al comenzar el juego?