Masa y energía cinética relativista

4.   La energía relativista

4.1. Masa relativista y energía cinética relativista

Sabemos que, si un cuerpo se mueve bajo la acción de una fuerza, el trabajo que realiza dicha fuerza provoca una variación de su energía cinética (teorema de las fuerzas vivas):

donde  es el momento lineal o cantidad de movimiento.

En principio, no existe ningún límite a este hecho, lo que indica que, si la fuerza tiene el valor adecuado y actúa durante el tiempo suficiente, la energía cinética del cuerpo podría crecer indefinidamente.

La relatividad especial justifica que la velocidad del cuerpo no puede rebasar la velocidad de la luz, por lo que debemos pensar que, en esas circunstancias, la masa del cuerpo no permanece constante, sino que aumenta en la medida en que lo hace su energía.

En contra de lo que suponía la física clásica, la masa de los cuerpos varía en función de su velocidad. Así, hablamos de una masa relativista, m:

m₀ es la masa del cuerpo en reposo. La masa relativista m coincide con la masa en reposo cuando el cuerpo se mueve a una velocidad muy inferior a la de la luz (v << c), pero tiende a infinito cuando su velocidad se aproxima a la de la luz.

Esta definición obliga a reformular la expresión del momento lineal. Con él vamos a calcular la variación de energía cinética que experimenta un cuerpo desde el reposo (E_c = 0) hasta que se mueve con una velocidad próxima a la de la luz:

Esta integral la resolvemos por partes:

Aplicando la fórmula de la integral por partes: 

En esta última integral multiplico y divido por 2·c²:

Para resolver la integral que nos queda hacemos el siguiente cambio de variable:

Volviendo a la integral:

Deshacemos el cambio de variable:

La energía cinética relativista es:

·     El término  se denomina energía total relativista del cuerpo.

·     El término  se denomina energía en reposo del cuerpo.

Principio de conservación de masa-energía. La masa puede transformarse en una cantidad equivalente de energía y viceversa. La energía relativista total de un sistema físico aislado permanece constante.

La energía cinética cuando v << c debe coincidir con la que nos da la Física clásica:

Se puede demostrar que:

Podemos aplicar este desarrollo al cálculo de  cuando v << c:

Sustituyendo:

En conclusión, cuando el cuerpo se mueve a una velocidad muy inferior a la de la luz (v << c), su energía cinética se expresa mediante la ecuación de la física clásica no relativista.