Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2023

8.   Estadística y Probabilidad:

a)  En un cierto humedal, la probabilidad de que un renacuajo llegue a rana adulta es del 2%. Si se escogen al azar 2 500 de esos renacuajos, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 55 de ellos lleguen a ranas adultas?

b)  Para conceder becas de estudio, un organismo valora los méritos presentados y asigna a cada candidato una puntuación que indica más méritos cuanto mayor es su valor. Este año, la puntuación sigue una distribución normal de media 100 y desviación típica 20, y se toma la decisión de conceder la beca al 5% mejor del conjunto de solicitantes. ¿Qué puntuación es preciso alcanzar para obtener la beca?

 

a)  Sea  “X:   el   número  r enacuajos   que,   en   un   humedal,   llegan  a  la   edad   adulta”. .

 

Para calcular la probabilidad pedida tendríamos que calcular muchas probabilidades, por eso vamos a comprobar si podemos aproximar la distribución binomial por una normal:

 

   ⇒   

 

           ⇒  

 

Como vemos se puede aproximar a una distribución normal. Ahora calculamos la probabilidad pedida haciendo antes la corrección de Yates:

 

 

 

La probabilidad de que por lo menos 55 renacuajos lleguen a la edad adulta, en un cierto humedal, es de 0,2611.

 

 

b)  Sea “X = puntuación que indica los méritos de los candidatos que se presentan para obtener una beca de estudio”.

 

La puntuación que deja por encima al 5% de los candidatos deja por debajo al 95% de los mismos:

 

 

 

 

Ahora, sabemos que hay un valor que deja detrás de sí una probabilidad de 0,95. Para calcularlo vamos a la tabla de la distribución normal y buscamos esa probabilidad. Si lo hacemos encontramos que para 1,64 la probabilidad es 0,9495 y que para 1,65 la probabilidad es 0,9505. Puesto que la media de las probabilidades da la probabilidad buscada (0,95), hacemos la media de 1,64 y 1,65:

 

 

 

Para conseguir la beca es necesario alcanzar una puntuación igual o superior a 132,9 puntos.