Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. junio 2022

6. Geometría:

a)  Halle los valores de k y de m que hacen que los puntos ,  y  estén alineados.

b)  Estudie la posición relativa de las rectas        y      . Si se cortan, calcule el punto de corte.

 

a)   Vamos a hacer dos vectores con los puntos: 

Si los puntos están alineados, los vectores formados con ellos deberán estar en la misma dirección, es decir, deberán ser dependientes. Por lo tanto, el rango de la matriz formada por estos vectores tendrá que ser 1: 

Así entonces todos los determinantes de orden 2 deben ser cero:

 

 

b)  Vamos primero a calcular las ecuaciones paramétricas de la recta r: 

 

La recta s vamos a ponerla también en las ecuaciones paramétricas:

 

 

Con los puntos de las dos rectas hacemos un vector:  .

 

Ahora en una matriz vamos a poner los dos vectores directores y en otra los dos vectores directores y el vector que hicimos con los puntos de las rectas:

 

 

Calculamos los rangos y sabemos la posición relativa de las rectas:

 

La matriz A tiene rango 2, ya que:  .

 

 

Por lo tanto, los vectores directores son linealmente independientes, es decir, no tienen la misma dirección. Por lo que, las rectas sólo pueden ser o secantes o cruzadas.

 

La matriz A^* también tiene rango 2, ya que: 

 

 

Por lo que el vector que hicimos con los puntos de ambas rectas está en el mismo plano que el de los vectores directores. Por consiguiente, las rectas son secantes.

 

Ahora, para calcular el punto de corte igualamos las ecuaciones paramétricas de ambas rectas. El sistema resultante es compatible determinado, tiene una solución que es el punto de corte. Para obtener los valores de las incógnitas, escogemos dos cualquiera de las ecuaciones y resolvemos el sistema. Si comprobamos el resultado en la ecuación no elegida, comprobamos que también la cumple:

 

 

Ahora basta con substituir  en la recta r o  en la recta s:

 

 

El punto de corte de r y s es el punto .