Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Julio 2022

PREGUNTA 2.  Álgebra. En una fábrica se ensamblan dos tipos de motores: para motos y para coches. Para ensamblar un motor de moto se emplean 60 minutos de trabajo manual y 20 minutos de trabajo de máquina. Para  ensamblar  un  motor  de  coche  se  emplean  45  minutos  de  trabajo  manual  y 40 minutos de trabajo de máquina. En un mes, la fábrica dispone  de  120  horas  de  trabajo  manual  y  90 horas de trabajo de máquina. Sabiendo  que  el  beneficio  obtenido  de  cada  motor  de  moto  es  de 1 500 € y el de cada motor de coche de 2 000 €.

a)  Plantee el problema que permite determinar cuántos motores de cada tipo hay que ensamblar mensualmente para maximizar los beneficios globales.

b)  Represente gráficamente la región factible y calcule sus vértices.

c)   Halle las cantidades mensuales que se deben ensamblar de motores de cada tipo para maximizar beneficios y determine cuál es el beneficio máximo.

 

a)   Definimos:

 

x: número de motores de moto que se ensamblan en cierta fábrica mensualmente.

y: número de motores de coche que se ensamblan en cierta fábrica mensualmente.

 

Como la fábrica dispone de 120 horas de trabajo manual y se necesitan 60 minutos de trabajo manual para fabricar un motor de moto y 45 minutos para fabricar un motor de coche, obtenemos la primera restricción:

 

 

La segunda se obtiene igual, pero con las horas de trabajo de máquina:

 

 

Quedaría imponer dos restricciones evidentes, el número de motores de cada tipo tiene que ser mayor o igual a cero:

 

 

 

Nos queda escribir la función de beneficios que sería la siguiente:

 

 

b)  Representamos el conjunto de soluciones e identificamos la región factible:

 

 

 

Calculamos los vértices:

 

            ;    

 

   ;    

 

 

c)   Calculamos el valor que toma la función beneficios en cada uno de los vértices:

 

 

 

 

 

La solución óptima de la función objetivo, que es la que proporciona más beneficios, es la del vértice C. Deberían ensamblar 30 motores de moto y 120 motores de coche mensualmente y obtendrían así unos beneficios de 285 000 €.