Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2021

El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que se puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. Si responde a más preguntas de las permitidas, sólo se corregirán las  5 primeras respondidas.

1. Números y Álgebra:

Sea  la matriz de dimensión  definida por . Explique si A y A+I son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota:  es el elemento de A que está en la fila i y en la columna j, e I es la matriz identidad.)

Primero, calculamos la matriz A:

Para saber si esta matriz tiene inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Pero, aplicando las propiedades de los determinantes, si una matriz tiene una fila o una columna con todos sus elementos nulos, el determinante es cero. Por lo cual, la matriz A no tiene inversa.

Calculamos la matriz A + I:

Calculamos su determinante para saber si tiene inversa:

Tiene inversa, para hallarla comenzamos calculando la matriz adjunta:

Hacemos la traspuesta:

Por lo tanto, la inversa sería: