Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Julio 2020

3. Análisis:

a)  Calcule     .

b)  Determine los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de  . Calcule, si existen, los máximos y mínimos relativos de la función f.

a)   Para  calcular  el  límite  aplicamos  la  regla de L’Hôpital para resolver las indeterminaciones, es decir, derivo el numerador y el denominador:

b)  Para calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento hacemos la primera derivada:

Igualamos a cero para para calcular los posibles extremos relativos:

 Para establecer los intervalos de crecimiento y decrecimiento debemos además tener en cuenta el dominio de la función:

Tenemos que quitar del dominio el cero y los números negativos porque tenemos un logaritmo neperiano. Ahora podemos mirar el signo de la primera derivada en los intervalos resultantes:

Sabiendo que la función decrece cuando la primera derivada es negativa y que cuando es positiva crece, los intervalos serán:

Como el punto x = 1 es del dominio de definición y antes de ese punto la función decrece y después crece, habrá ahí un mínimo. Se podría comprobar con la segunda derivada de la función, donde, al ser un mínimo, esa segunda derivada nos devolvería un valor positivo. Vamos a calcular la otra coordenada de ese punto: