Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Junio 2018

1.    

a)  Dada la matriz  , calcula los valores de m para que la matriz inversa de M sea  .

b)  Dadas las matrices  ,    y  , calcula la matriz X que verifica:  , siendo  y  las traspuestas de B y C respectivamente.

a)   Empezamos calculando la inversa de la matriz M, para ello, primero calculamos el determinante:

Ahora, calculamos la adjunta:

Hacemos la traspuesta:

Por lo tanto, la inversa sería:

Calculamos ahora la matriz :

Igualamos las dos matrices:

Para que dos matrices sean iguales, deberán serlo todos los elementos de cada una de ellas. Los que están en la diagonal secundaria ya lo son, independientemente del valor de m, bastará con igualar los de la diagonal principal:

Para  se cumple que .

b)  Primero vamos a deducir la dimensión de la matriz X:

La dimensión del producto    tiene que ser   para después poder sumar la matriz resultante con la matriz   (sólo se pueden sumar matrices de la misma dimensión). Para que eso suceda, la dimensión de la matriz X tiene que ser  . Sabiendo esto planteamos la siguiente ecuación:

Operamos:

Igualamos los elementos de una matriz con los de la otra y resolvemos el sistema: