Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2018
2.
a) Enuncia el teorema de Rolle. Calcula a, b y c para que la función:
cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo y calcula el punto en el que se cumple el teorema.
b) Dibuja y calcula el área de la región limitada por la parábola y la recta . (Para el dibujo de la parábola, indica: puntos de corte con los ejes de coordenadas, el vértice y concavidad o convexidad).
a) El enunciado del teorema de Rolle sería:
Sea f(x) una función continua en [a,b],derivable en (a,b) y con , entonces existe al menos un tal que .
La primera condición que debe cumplir es que debe ser continua en el intervalo . Podemos afirmar que es continua en ya que las funciones polinómicas lo son, pero tenemos que asegurarnos de que lo sea en el punto :
Estudiemos ahora la derivabilidad. Como la función es continua en ese punto, cumpliendo la condición anterior, puede ser derivable. Lo comprobamos:
Para ser derivable debe cumplir:
La última condición que debe cumplir es:
Para calcular los valores pedidos, debemos resolver el sistema con las tres ecuaciones que obtuvimos:
Con estos valores la función nos quedará:
Para calcular el punto en el que se cumple el teorema, hacemos la derivada de la función e igualamos a cero:
Como el valor obtenido pertenece al intervalo es el que buscábamos. Calculamos la otra coordenada del punto:
El punto que cumple las hipótesis del teorema de Rolle para esta función y para este intervalo es:
b) Hacemos los cálculos para dibujar la parábola:
Corte eje OX: y = 0
Corte eje OY: x = 0
⇒ Punto de corte:
Vértice:
Curvatura:
La parábola es convexa ya que .
Vamos a calcular el punto de corte entre la parábola y la recta:
Con estos datos podemos dibujar tanto la parábola como la recta e identificar el área a calcular:
Planteamos la integral y calculamos el área pedida: