Galicia. Examen EBAU resuelto de Matemáticas CC.SS.. Septiembre 2018

2.   Un nuevo producto tiene una demanda en miles de unidades que responde aproximadamente a la función  ,   en meses.

a)  Estudia  el  crecimiento  y  decrecimiento  de  la  demanda.  Calcula la demanda máxima y el momento en el que se alcanza.

b)  Evalúa la tendencia a largo plazo y representa la función.

c)   ¿Después del máximo, bajaría la demanda de 11 000 unidades? ¿Cuándo?

 

 

a)   Para calcular el crecimiento y decrecimiento necesitamos la primera derivada de la función:

 

 

Igualamos la derivada a cero para calcular los puntos críticos:

 

 

Nos quedamos sólo con el valor positivo, ya que el tiempo tiene que ser mayor o igual a cero. Miramos el signo de la primera derivada en los intervalos resultantes:

 

 

 

La demanda aumenta durante el primer mes y a partir de ahí disminuye. La demanda máxima se produce en el primer mes y para calcular a cuánto asciende vamos a la función:

 

 

Así  entonces  la  demanda  máxima  se produce justo al cabo del primer mes y asciende a 15 000 unidades.

 

 

b)  Para calcular la tendencia a largo plazo calcularemos el límite cuando el tiempo tiende a infinito de la función demanda:

 

 

Con el paso del tiempo la demanda disminuirá y se acercará a 5 000 unidades. Hacemos la representación de la función:

 

 

 

 

c)   Viendo  los  resultados  del  apartado  anterior, evidentemente la demanda va a bajar de las 11 000 unidades después del máximo, para calcular exactamente cuando resolvemos la siguiente inecuación:

 

 

 

 

Hacemos un cuadro para obtener la solución:

 

 

 

La demanda baja de las 11 000 unidades para los intervalos negativos del cuadro. Después del máximo, bajaría a partir del tercer mes en adelante.