Galicia. Examen PAU resuelto de Matemáticas II. Septiembre 2015
1.
a) Define menor complementario y adjunto de un elemento en una matriz cuadrada.
b) Dada la matriz
i. Calcula el rango, según los valores de , de , siendo I la matriz unidad de orden 3.
ii. Calcula la matriz X que verifica .
a) Se llama menor complementario de un elemento aij de una matriz de orden n, al valor del determinante de orden que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Se designa por Mij.
Se llama adjunto del elemento aij, al menor complementario anteponiendo:
El signo + si i+j es par.
El signo si i+j es impar.
b)
i. Primero calculamos la matriz de la que nos piden el rango:
Vamos a calcular el rango por determinantes, así que para eso calculamos el determinante de la matriz anterior:
Igualamos el determinante a cero y tenemos los valores a partir de los cuales discutiremos el rango:
Tendremos, por lo tanto, los siguientes casos:
· Si , ya que el determinante de orden 3 es distinto de cero.
· Si , porque los determinantes de orden 3 son cero, pero encontramos algún determinante de orden 2, en cada caso, distinto de cero.
ii. Primero despejamos la matriz X:
Como en el apartado anterior calculamos la matriz , substituyendo por 3, obtenemos la matriz y el determinante de la misma:
Ahora calculamos la matriz adjunta:
Calculamos la traspuesta:
La inversa sería:
Calculamos la matriz 2A:
Multiplicamos la matriz 2A por la inversa que calculamos: